Kochkurve optional

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Eins der schönsten Fraktale ist die Kochkurve, die sich zu der Kochflocke (s. weiter unten) zusammensetzen lässt. Benannt nach ihrem Schöpfer ist ihre zweiteilige Vorschrift recht einfach zu finden.

Vorarbeit

Do Now!

Formulieren Sie anhand der Animation und der untenstehenden Grafik die zweiteilige Vorschrift für die rekursive Funktion der Kochkurve.

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Es stellen sich aber noch einige geometrische Probleme mit PyTamaro, die es zuerst zu lösen gilt: Sie wissen, dass sich um jede primitive oder zusammengesetzte Grafik einen rechteckigen "Fangrahmen" legt, der die Pinpositionen vorgibt.

Do Now!

Überlegen Sie sich, welche Probleme auftreten, wenn man in der ersten Rekursionsebene die vier Teilstücke von links nach rechts mit compose aneinanderhängt.

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Es gibt unschöne Lücken. Egal wie man es macht, irgendwo entsteht eine unschöne Lücke.

Sie müssen deshalb beim Erstellen der Kochkurve mit abgeschrägten Teilstücken arbeiten und diese müssen in einer bestimmten Reihenfolge aneinander gelegt werden, so dass keine unregelmässigen Lücken entstehen.

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Do Now!

Denken Sie zuerst darüber nach, welche Winkel hier eine Rolle spielen, Wie die Fangrahmen um die teilweise erzeugte Figur aussieht und wie die einzelnen Teilstücke aussehen müssen.

Die Winkel der Figur sind alles 60°-Winkel, die Winkel der Teilstücke sind am einfachsten mit 45°-Winkeln zu generieren, da es dafür keine Trigonometrie braucht und es muss einen rechten und einen linken Teil geben, die dann aneinander gelegt werden.

Do Now!

Zeichnen Sie ein solches Teilstück, beschriften Sie es mit Längen und Winkeln uund überlegen Sie, wie Sie es in primitive Grafiken zerlegen und wie sich dieses Teilstück nennt.

Your Task!

Erstellen Sie ein gleichschenkliges Trapez mit festem 45°-Winkel mit den Parametern laenge, hoehe und farbe.

Speichern Sie es in Ihrer Toolbox.

Lösung (zum Anzeigen auf den Pfeil drücken, aber nur benutzen, wenn Sie wirklich nicht weiterkommen!)

from pytamaro import (Color, Graphic, beside, rotate, triangle, rectangle, 
                      show_graphic, red)
                      
def gleichschenkliges_trapez(laenge: float, hoehe:float, farbe: Color) -> Graphic:
    return beside(
            beside(
                rotate(90, triangle(hoehe, hoehe, 90, farbe)),
                rectangle(laenge-2*hoehe, hoehe, farbe)
            ),
            triangle(hoehe, hoehe, 90, farbe)
        )

Rekursive Funktion

Your Task!

Schreiben Sie nun die Funktion für die Kochkurve.

Wählen Sie auch hier vielleicht zuerst den Weg, die erste Rekursionsebene zu programmieren, und erst wenn diese einwandfrei funktioniert, den Code zur Rekursion umzuschreiben. Mit der übergebenen Länge, ist die Länge des nullten Rekursionsschrittes gemeint, dessen Höhe 1/10 der Länge ist.

Lösung (zum Anzeigen auf den Pfeil drücken, aber nur benutzen, wenn Sie wirklich nicht weiterkommen!)

from pytamaro import compose, pin, bottom_right, bottom_left

def koch_kurve(tiefe: int, laenge: float, farbe: Color) -> Graphic:
     f = 1/3  # der Verkleinerungsfaktor
     if tiefe == 0:
         return gleichschenkliges_trapez(laenge, 0.1*laenge, farbe)
     else:
        linker_teil = compose(
                    pin(bottom_right, koch_kurve(tiefe-1, laenge*f, farbe)),
                    rotate(60, pin(bottom_left, koch_kurve(tiefe-1, laenge*f, farbe)))
                )
        rechter_teil = compose(
                 rotate(-60,pin(bottom_right, koch_kurve(tiefe-1, laenge*f, farbe))),
                pin(bottom_left, koch_kurve(tiefe-1, laenge*f, farbe))
                )
        return compose(
                pin(bottom_right, linker_teil),
                pin(bottom_left, rechter_teil)
                )

Wenn Ihre Kochkurve nun korrekt angezeigt wird, können Sie sich überlegen, wie sich die gewonnene Kurve zur Kochflocke zusammensetzen lässt. Mit der aktuellen Rekursionstiefe und der Abbildung unten wird die Aufgabe wohl eine Denksportaufgabe. Wenn Sie aber den Hinweis bekommen, dass die Flocke in der ersten Interationsebene einen sechszackigen Stern darstellt, sollte sie machbar werden.

Ansonsten finden Sie unter Fibonacci ein weiteres sehr schönes Fraktal, dass es sich zu programmieren lohnt.

Viel Spass!

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This activity has been created by Farner and is licensed under CC BY-SA 4.0.

Kochkurve optional

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